दो दिए गए बिंदुओं $a$ और $b$ से समान दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ क्या है?

माना $(x, y) \in (R \times R)$ और $\vec{a} = x \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$, $\vec{b} = 6 \hat{i} - y \hat{j} + 2 \hat{k}$ दो सदिश हैं। यदि $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^2 = f(x) g(y)$ है, तो $f(x) + g(y) - 46 = 0$ क्या दर्शाता है?

यदि $a, b, c$ क्रमशः बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश हैं, तो सूची-$I$ की वस्तुओं का मिलान सूची-$II$ की वस्तुओं से कीजिए।

सूची-$I$	सूची-$II$
$A$. $a = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}, c = 4\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$	$I$. $\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है
$B$. $a = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, b = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}, c = -3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$	$II$. $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है
$C$. $a = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}, c = -3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$	$III$. $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है
$D$. $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, b = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}, c = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$	$IV$. $A, B, C$ संरेख हैं

सही मिलान है:

यदि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\bar{a}+2 \bar{b}$ और $5 \bar{a}-4 \bar{b}$ एक-दूसरे पर लंब हैं,तो $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ इस प्रकार हैं कि $\vec{a}+\lambda\vec{b}$,$\vec{c}$ पर लंब है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ है, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)=$